求所有的函数f:z→z使得对任意满足a+b+c=0的整数a,b,c恒有f(a)2+f(b)2+f(c)2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)。

在女考官眼中,许衡连翻页这个动作,都是那样的行云流水。

翻页!提笔!开始答题。

一气呵成!

整个过程,许衡沉稳无比，仿佛一切胸有成竹!当然

他,就是胸有成竹!

在许衡看来,今天的题目和昨天的相差无几,甚至比昨天的还简单一些。

所以他在还没正式考试的前十分钟,已经看完了这两道题!也正是因为对这两道题了解了,还有就是为了不让他们再那么大惊小怪,许衡选择了放慢速度。

慢慢地写字!

慢慢的答题!

这在女考官眼中,许衡尽显东方人的儒雅之风!写的每一个字，都是享受!

都是一场神圣的视觉盛宴，令人神往。

女考官忍不住凑到另外两位考官身边，用胳膊肘碰了碰他们一下。

他们才注意到,整个考场中,唯有许衡,挺直腰杆,如一把锋利的宝剑,立于天地之间。

在看其他五位,要么弓着腰,抓耳挠腮,要么眉头紧锁，精神萎靡。

废话!

昨天的打击，心态崩了，再加上昨晚没睡好，再加上今天的题目依旧很绕人,他们哪有心情表现得那么淡定,表现得游刃有余?

唯独许衡!

许衡有条不紊。

令a=b=c=0可得3f(0)2=6f(0)2,这说明f(0)=0。现在我们令b=a,c=0可得到f(a)2+f(a)2=2f(a)f(a)即(f(a)f(a))2,于是f(a)=f(a),即f(n)为偶函数。

假设对某个整数a使得f(a)=0,则对任意整数b我们有a+b+(ab)=0,因此f(a)2+f(b)2+f(a+b)2=2f(b)f(a+b),这等价于(f(b)f(a+b))2=o,即f(a+b)=f(b)。

因此对某个整数a使得f(a)=0时,f是一个以a为周期的函数

现在假设f(2)=4f(1)并且f(1)≠0。

如果对任意的整数n都有f(n)=n2f(1)成立,那么

综上所述,函数方程的解为:f(x)=cx2,其中c∈z;f(x)={0,,2n其中c∈z。

以及

三位考官都沉浸在许衡的答题过程中。

许衡就腰背挺直地坐在座位上，一笔一划，十分认真。不论从哪个角度看,他们都觉得很享受。

完美的字迹!

完美的气质!完美的颜值!咳咳

这位女考官，一时间沉浸在许衡浑然天成的帅气当中,无法自拔。

此时此刻,他们都忽略了。

许衡在昨晚这两道题的时候,也不过是用了十分钟的时间!的确!

这次许衡一笔一划，足够慢，也足够消磨时间了!但是奈何不住这两道题那么简单啊!

终于，前两天搞定。

许衡松了一口气，悠哉悠哉地转起了笔。

而其他五位，一个个眉头深锁,还在扣着第一题!

三位考官这时候才意识到

许衡即便是写得那么慢，也才只用了十分钟的时间!偶买噶!!!

起初，他们对于许衡的态度是质疑的!可现在看来,他们被打脸了!

许衡的操作比上一次还厉害，有过之而无不及!什么看一题,就能给出答案了?!

我们差点就信了!

这明明就是两道题一起看的!

一起看完，一道一道地给出了准确答案!“」嘶~!”

忍不住发出声音。

而许衡，充耳不闻,看着最后一题。

设f是定义在整数集合取值为正整数的函数,已知对于任意两个整数=n,f(-n)lf-f(n)。求证:对于任意整数,n,fsf(n)→f(）lf(n)。

看题目，10秒钟!

思考，30秒钟!许衡再次动笔。

三位考官看着真切，一脸的期待。

他们期待着许衡的动笔,期待许衡再次给他们展示他是如何答题的!

他们完全从考官的身份切换到了粉丝的身份!他们看着许衡,有种崇拜仰慕的感情在。许衡作答:

证明:由已知f(-0）f-f(0），因此f|f(o)对任意整数都成立。

由于f(0-n)lf(o）-f(n)，因此f(-n)if(n),n→→-n可得f(n)lf(-n)，因此对于任意整数n，都有f(-n)=f（n)。

若结论不成立，则存在,n

…··…

综上所述,结论成立。

例如f(odd)=a，f(even)=ab，f(o)=abc。写着写着，许衡就给出了答案。

而且还是正确答案。

“额”

(王李的)

许衡愣了一下。

他是真的愣了一下，他没想到这最后一道题那么简单!太简单了!

不管别人是怎么认为的，反正许衡觉得,这道题,还不如前面那两道有意思!

哎

这就是所谓的矮子中间拔高的吧!但是和昨天的整体比起来，相差太大。许衡有种意犹未尽的感觉。

毕竟全部解决完，这些题，半个小时都没有啊!许衡本来还想着写慢点,再慢点的!

可再慢，也架不住你们题目简单啊!算了

再多写一点吧!许衡又继续。

若f(n)lf(kn)，则由于f(n)if((k+1)n)-f(kn)，故也有f(n）lf((k+1)n)，同样由于f(n)lf(kn)许衡写着，三个考官看着。

他们不认识汉字,但这上面的字母,还有数学符号，他们是认识的!

他们疑惑，怎么许衡写的东西,有点绕回去了?

这些字母，这些数字，总感觉有些地方和前面的,类似。???

在来监考许衡之前,前三位的考官,特别强调,在看许衡答题的时候,一定要注意那个（2），同时,还有那五个汉字:“第二种解法”。

可是他们都盯着许衡的试卷看,并未出现(2）和“第二种解法。

真是奇了怪

难道许衡自己没注意?

自己被自己的解题思路，套进去了?三位考官，面面相髻。

可就在他们疑惑之际,许衡停下,然后在“若f(n)lf(kn）”的前面,画括号，然后